pense-bête de bruno sanchiz

définitions

bruno — 2021-05-25T23:28:47Z

"Ce que nous entendons par la probabilité qu'une chose arrive, c'est précisément le nombre de fois auquel on s'attend à ce que cette chose
arrive, divisé par le nombre total d'essais"
Feynamnn Vol5

- PROBABILITES / maths

programmes debian de math

bruno — 2015-07-24T05:27:47Z

mathématiques

Géogebra pour les maths
géogebra est utilisée au lycée et permet des exports en tex.

La calculatrice graphique pour la Géométrie, l'Algèbre, le Calcul Différentiel, les Statistiques et la 3D. Pratique pour les tracés géométriques.

https://wiki.geogebra.org

scilab : utilisé en ECS
apt-get install scilab

mimetex - Convertisseur d'expressions mathématiques LaTeX en images GIF lissées
mimetex -d "\frac{a}{b}+5^{8+\alpha}" -o -s 5 -e a.gif

axiom - système généraliste d'algèbre : programme principal et modules
cantor - interface for mathematical applications
- fonctionne avec python , octave ...
education-mathematics - Debian Edu mathematical applications
junior-math - Debian Jr. educational math
libreoffice-dmaths - Formula editor improvements for LibreOffice
epix - Create mathematically accurate line figures, plots and movies
- ligne de commande ??
euler - interactive mathematical programming environment
mathomatic - portable Computer Algebra System (CAS)
mathomatic-primes - prime number tools for mathomatic
mathpiper - Java Computer Algebra System
r-mathlib - GNU R standalone mathematics library
science-mathematics - Paquets Debian pour les Sciences Mathématiques
octave - GNU Octave language for numerical computations
geophar - Couteau suisse pour l'enseignant de mathématiques : voir page dédiée geophar
jsmath - équations TeX dans des documents HTML
kmplot - traceur de fonctions mathématiques pour KDE
qhull-bin - Calcul d'enveloppes convexes et d'autres objets mathématiques
science-mathematics - Paquets Debian pour les Sciences Mathématiques
zegrapher - tracé de courbes planes pour des fonctions et des suites mathématiques

PARI/GP
maxima - système de calcul formel - système de base
R
xcas - système de calcul formel – calculateur graphique et en console
scilab

ARCHIVES :
mathwar - Jeu de cartes conçus pour apprendre les mathématiques élémentaires
python-linop - Linear mathematical operators in Python (Python 2)
python-linop-doc - Linear mathematical operators in Python (documentation)
python3-linop - Linear mathematical operators in Python (Python 3)
w3-dtd-mathml - Mathematical Markup Language V2.0 DTD
zimpl - langage de modélisation mathématiques pour les problèmes d'optimisation

geomview

Utilisés dans l'éducation nationale ou proposés par

apt-get install algobox geogebra scratch

Algobox pour l'algorithmique : crée des fichiers .alg

On peut tester l'algorithme

scratch pour la programmation : très sympa.

xcas en ligne :
programmation, tableur, grapheur,suites, éditeur ( copier/coller des autres fonctionnalités )

jeux de math

divers

gmult : jeu devinette de multiplication

brochures de l'APMEP

http://lea-linux.org/documentations...

admesh outil pour calculer des maillages solides : stl 2 stl : rien de concluant

grace : XY graphing and plotting tool #xmgrace

a voir

cimg-dev : bibliothèque C de calcul sur les images intéressant, pas essayé

cadabra field-theory motivated computer algebra system : pas essayé

cantor : cantor - interface pour applications mathématiques
pas essayé

euler : euler - environnement de programmation mathématique interactive
pas essayé

logiciels_pour_le_lycee

variables aléatoires

bruno — 2014-12-04T03:09:43Z

variables aléatoires

définitions

On nomme Variable Aléatoire sur $ \Omega $ toute application de $ \Omega $ dans $ \mathbb{R} $

$ VA (\Omega ) : \Omega \longrightarrow\mathbb{R} $

La loi de probabilité (ldp) d'une variable aléatoire $ X $ est l'application $ f_{X} $ de $ X(\Omega ) $ dans $ \mathbb{R} $ associant à tout x de $ X(\Omega ) $ le nombre $ f_X(x)=P(X=x) $

$ \begin{array}{lrccl} ldp : & f_X : &X(\Omega ) &\mapsto &\mathbb{R} \\ & & x &\longrightarrow &P(X=x) \end{array} $

La fonction de répartition de $ X $ est l'application $ F_X $ de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{R} $ associant à tout x le nombre $ F_X(x)=P(X\leq x) $

$ \begin{array}{lrccl} fdr : & F_X : &\mathbb{R} &\longrightarrow&\mathbb{R} \\ & & x &\mapsto &P(X\leq x) \end{array} $

lois de probabilité discrète

Loi de Poisson : loi qui décrit le comportement du nombre d'évènements se produisant dans un laps de temps fixé, si ces évènements se produisent avec une fréquence moyenne connue et indépendamment du temps écoulé depuis l'évènement précédent.

Loi uniforme : équiprobabilité de chaque valeur.

Loi de bernouilli : $ P(X=1)=p ; P(X=0)=1-p $.
Une épreuve de bernouilli est une expérience aléatoire qui a deux issues possibles, gagné ( resp. perdu ), $ G $ ou {1} (resp $ P $ ou {0}), $ G=\bar{P} $. Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p, la probabilité de « gagné » est $ p(G)=p $.

Loi de bernouilli : l'univers $ \Omega $ contient un nombre fini d'objets. L'univers contient N $ (=card(\Omega)) $ objets séparés en deux groupes G et P : $ \Omega = G + P $. La probabilité de gagner est $ p(G)=\frac{card(G)}{card(\Omega)} $

Loi binomiale : répéter n fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p

Loi binomiale : piocher n fois dans un groupe contenant une proportion p d'objets gagnés. Donc avec remise.

Loi hypergéométrique : On tire simultanément n boules dans une urne contenant pA boules gagnantes et qA boules perdantes (avec q = 1 - p, soit un nombre total de boules valant pA + qA = A). On compte alors le nombre de boules gagnantes extraites et on appelle X la variable aléatoire donnant ce nombre.

Loi géométrique : le temps d'attente de la première réussite $ E=\{000000001\} ; p(n)=(1-p)^{n-1} * p $
Tous les couples ont des enfants jusqu'à obtenir un garcon

lois de probabilité continue

Loi uniforme : tous les intervalles de même longueur inclus dans le support de la loi ont la même probabilité.

Loi exponentielle : la probabilité que le phénomène dure au moins s + t heures sachant qu'il a déjà duré t heures sera la même que la probabilité de durer s heures à partir de sa mise en fonction initiale. $ \bigvee(s,t)\in\mathbb{R}^{+2} , P(X \gt s+t \mid X\gt t ) = P( X \gt s ) $

Loi normale : loi de Gauss

$ \begin{array}{llcll} \\ \\ loi\ de\ poisson & & P_{\lambda\gt 0}(X = k )=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} & E(X) = \lambda & V(X)=\lambda\\ loi\ uniforme & U([a;b[) & \frac{1}{b-a} sur [a;b] & E(X) = \frac{a+b}{2} & V(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\\ loi\ exponentielle & \epsilon (\lambda) & \lambda e^{-\lambda t} ; t \geq 0 & E(X)=\frac{1}{\lambda} & V(X)=\frac{1}{\lambda^2}\\ loi\ normale & N(m,\sigma) & \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} & & \\ loi\ de\ bernouilli & & p ; 1-p ; 0 & E=p & V=pq \\ loi\ binomiale & & C^n_k p^k (1-p)^{n-k} & E=np & V=npq\\ loi\ hypergéométrique & & p(k) = \frac{{pA \choose k}{qA \choose {n-k}}}{{A \choose n}} & E=np & V=npq\frac{A-n}{A-1} \end{array} $

calculs de E et V

Loi binomiale

Soit $ f_{n \in \mathbb{N}} : \mathbb{R}\times\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $, $ (a,b) \longrightarrow (a+b)^n $

$ E=\sum_{k=0}^{k=n} k C^n_k p^k (1-p)^{n-k} $ On reconnaît $ p \partial_p p^k $

$ \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial p} f_n(p,b) = \frac{\partial}{\partial p} (p+b)^n = \frac{\partial}{\partial p} \sum_{k=0}^{k=n} C^n_k p^k b^{n-k} \\ \Rightarrow n(p+b)^{n-1} = \sum_{k=1}^{k=n} C^n_k k p^{k-1} b^{n-k} \\ \Rightarrow \frac{\partial f_n}{\partial p} (p,1-p) = n \times 1= \frac{E}{p}\\ d'ou\ E = n \times p \end{array} $

$ V=\sum_{k=0}^{k=n} (k-\bar{k})^2 C^n_k p^k (1-p)^{n-k} = \bar{(k^2)}-(\bar{k})^2 $ On reconnaît $ p \partial_p k p^k $ : $ k^2 p^k \approx \partial_{p^2}(p^k) $

$ \begin{array}{ll} \frac{\partial^2}{\partial p^2} f_n(p,b) = \frac{\partial}{\partial p} ( n(p+b)^{n-1} ) = \frac{1}{p} \frac{\partial}{\partial p} \sum_{k=1}^{k=n} C^n_k k p^k b^{n-k} - \frac{1}{p^2} \sum_{k=1}^{k=n} C^n_k k p^k b^{n-k}\\ \Rightarrow n(n-1)(p+b)^{n-2} = \frac{1}{p^2} \sum_{k=1}^{k=n} C^n_k k^2 p^k b^{n-k} - \frac{1}{p^2} \sum_{k=1}^{k=n} C^n_k k p^k b^{n-k}\\ \Rightarrow \frac{\partial^2 f_n}{\partial p^2} (p,1-p) = n(n-1) = \frac{1}{p^2} \bar{(k^2)} - \frac{1}{p^2} E \\ \Rightarrow V = ( p^2 n(n-1) + np ) - (np)^2 = np - n p^2 = np(1-p) \end{array} $

Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson

$ C^n_k p^k (1-p)^{n-k} = \frac{\Pi_{i=0}^{i=k-1} n(1-\frac{i}{n}) }{k!} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{(np)^k}{k!} (1-p)^{n-k} \Pi_{i=0}^{i=k-1} (1-\frac{i}{n}) $

$ = \frac{\lambda^k}{k!} (1-\frac{\lambda}{n})^n (1-\frac{\lambda}{n})^{-k} \Pi_{i=0}^{i=k-1} (1-\frac{i}{n}) $

$ \Delta = \frac{\mid (1-\frac{\lambda}{n})^n - e^{-\lambda}\mid }{e^{-\lambda}} $ pour :
$ \begin{array}{lll} & \Delta \le 1\% & \Delta \le 10\% \\ \lambda =0.1 & n \ge 1 & n \ge 1 \\ \lambda =0.5 & n\ge 13 & n\ge 2 \\ \lambda =1.0 & n\ge 51 & n\ge 6 \\ \lambda =3.0 & n\ge 450 & n\ge 45 \\ \lambda =10.0 & n\ge 4982 & n\ge 482 \end{array} $

$ \Delta = \frac{\mid (1-\frac{\lambda}{n})^n - e^{-\lambda}\mid }{e^{-\lambda}} $ pour :
$ \begin{array}{lll} & \Delta \le 1\% & \Delta \le 10\% \\ \lambda =0.1 & n \ge 1 ( p\le 0.1 )& n \ge 1 ( p\le 0.1 ) \\ \lambda =0.5 & n\ge 13 ( p\le 0.04 )& n\ge 2 ( p\le 0.25 ) \\ \lambda =1.0 & n\ge 51 ( p\le 0.02 )& n\ge 6 ( p\le 0.16 ) \\ \lambda =3.0 & n\ge 450 ( p\le 0.007 )& n\ge 45 ( p\le 0.07 )\\ \lambda =10.0 & n\ge 4982 ( p\le 0.002 )& n\ge 482 ( p\le 0.02 ) \end{array} $

$ \begin{array}{lllllll} & C^n_k p^k (1-p)^{n-k} & l^^k/k! e-l \\ \lambda=1.0;n=51.0;k=10.0 & \end{array} $

ca marche jusqu'à $ k^2 = n/2 $

$ \begin{array}{lllllll} & & (1-\frac{\lambda}{n})^{-k} & \Pi_{i=0}^{i=k-1} (1-\frac{i}{n}) & (1-\frac{\lambda}{n})^n & produit & e^{-\lambda}\\ \lambda =0.1;n = 10 & k=5 & 1.05&0.3&0.9&0.29&0.9\\ \lambda =0.5;n = 13 & k=5 & 1.22&0.41&0.6&0.3&0.6\\ \lambda =0.5;n = 13 & k=3 & 1.12& 0.78 &0.6&0.52&0.61\\ \lambda =1.0;n = 51 & k=10 & 1.22 & 0.39 & 0.36 & 0.17& 0.37\\ \lambda =20.0;n = 1000 & k=50 &2.75 & 0.29& 1.68e-09& 1.33e-09 & 2.06e-09\\ \lambda =2.0;n = 1000 & k=50 &1.11&0.29&0.14&0.043&0.14\\ \lambda=2.0; n=1000.0&k=7.0& 1.01& 0.98& 0.14& 0.13& 0.14\\ \lambda=1.0;n=51.0 & k=2.0& 1.04&0.98&0.36&0.37&0.37 \end{array} $