pense-bête de bruno sanchiz

définitions

bruno — 2021-05-25T23:28:47Z

"Ce que nous entendons par la probabilité qu'une chose arrive, c'est précisément le nombre de fois auquel on s'attend à ce que cette chose
arrive, divisé par le nombre total d'essais"
Feynamnn Vol5

- PROBABILITES / maths

geogebra

bruno — 2018-04-02T15:37:28Z

Trucs bizarres
pour obtenir un angle en radian il faut ajouter 0 : sin(π / 12 floor(0 + Angle[I, O, DMult12] 12 / π))

Tests dans calculs

La position d'un point peut être définie ainsi :
(1, 0) (x(D) > x(O)) + (0, 1) (x(D) < x(O))
mais pour s'assurer du fonctionnement , l'écrire ainsi :

(1, 0)*(1* (x(D) > x(O)) ) + (0, 1) *(1* (x(D) < x(O)))

mais semble planter à la réouverture.

arrondis dans propriétés->Texte

Fonctions diverses

floor : partie entière

Coordonnées :

x(P)

courbe paramétrique

Courbe(2 cos(t), 2 sin(t),t,0,2 pi)

Courbe polaire

Courbe((t;t), t, 0, 6 π )

Complexes :

a= 2 + 3.5 i x(a) = real(a) y(a) = imaginary(a) abs(a) = Length[a] arg(a) dans [-180 , 180 ] Angle[a] dans [0 , 360 ] conjugate(a) = Reflect[a,xAxis]

Créer une image gif d'une formule en latex

bruno — 2018-01-28T22:28:26Z

mimetex -d "\sum\limits_{n=0}^{n=\infty} \frac{x^n}{n ! }" -o -s 5 -e a.gif

geophar

bruno — 2017-10-03T00:24:01Z

De nombreux modules :

traceur de courbes ( ne semble pas accepter f3=f2+f1 )

La calculatrice calcule, intègre, résoud ...

statistiques

surfaces 3D

tableaux de variation de fonctions
f(x)=cos(x) sur [2;3[U[3;4[U[10;12[

géométrie dynamique ne semble pas très utilisable

cryptographie est une traduction lettre à lettre

Utilisation des formules

bruno — 2017-02-10T22:17:48Z

$ 1+\cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} $	$ \sum\limits_{i=0}^{i=n} i = \frac{n(n+1)}{2} $	billard
$ \frac{a\times 10^ p}{b \times 10^ m}= \frac{a}{b}10^{p-m} $	$ \sum\limits_{i=0}^{i=n} i = \frac{n(n+1)}{2} $	puissances de 10

puissances de 10

calcul de la gravité à la surface de la terre $ g = \frac{G\dot M}{R^2} = \frac{6,67.10^{-11}\times 6,0.10^{24}}{(6,3.10^{6})^2} = \frac{6,67\times 6,0}{6,3^2} \frac{10^{-11}\times 10^{24}}{(10^{6})^2} $ $ g \approx 1\times 10^{-11+24- 6\times 2} = 1 \times 10 ^ 1 = 10 $
calcul du PIB par habitant :
- france : $ \frac{3,06725.10^{12}\times 0,82}{68.10^{6}} \approx \frac{3\times 0,8}{70} \times \frac{10^{12}}{10^{6}} = 0,03 . 10^{6} = 3.10^{4} =30000 E/an $

- terre : $ \frac{84,740.10^{12}\times 0,82}{7,53.10^{9}} \approx \frac{80.10^{12}\times 0,8}{8.10^{9}} = \frac{80 \times 0,8}{8} \times \frac{10^{12}}{10^{9}} = 8 \times 10^3 = 8000 E/an $

billard ( v=YzD3aQ8WJFU )

Il reste 6 boules de couleur qui valent de 2 à 7 points. La somme des points est donc $ 2+3+4+5+6+7 = ( 1+2+3+4+5+6+7 ) - 1 = \frac{7\times 8}{2} -1 = 28 -1 = 27 $

UNITES

bruno — 2015-09-09T17:10:27Z

unités
Les changements d'unité
équivalence des unités, équations aux dimensions
non-équivalence des unités
différentes unités

unités

Pour quantifier une grandeur physique, et les comparer,nous avons besoin d'unités. 7 suffisent. On utilisent souvent les7 suivantes :

Grandeur de base	Symbole de la dimension
LONGUEUR	L
TEMPS	T
MASSE	M
INTENSITé électrique	I
témpérature thermodynamique	$ \Theta $
quantité de matière	N
inténsité lumineuse	J

Ainsi toute unité s'écrit avec ces 7 unités de la façon suivante : NouvelleUnité = $ L^{\alpha} M^{\beta} T^{\gamma} I^{\delta} \Theta^{\epsilon} N^{\zeta} J^{\eta} $. Les exposants sont des réels quelconques mais pratiquement toujours des entiers relatifs.

Les changements d'unité

1/2

Utilisation d'un tableau de conversion, par l'exemple

On cherche à convertir 85,3 mm en mètres.

On construit le tableau avec les unités recherchées :

		m			mm

On place le nombre en mettant la virgule à droite de la colonne de l'unité :

		m			mm
				8	5 ,	3

On rajoute les zéros avant et après le nombre en ayant soin d'atteindre la nouvelle unité :

		m			mm
0	0	0	0	8	5 ,	3	0

On place la nouvelle virgule et on garde seulement les zéros utiles :

		m			mm
		0 ,	0	8	5	3

On écrit le résultat :

85,3 mm = 0,0853 m

A retenir

.................................

On construit le tableau avec les unités recherchées

On place le nombre en mettant la virgule à droite de la colonne de l'unité.

On rajoute les zéros avant et après le nombre en ayant soin d'atteindre la nouvelle unité

On place la nouvelle virgule et on garde seulement les zéros utiles

On écrit le résultat

conversions directes, par l'exemple

Les multiplicateurs courants

les multiplicateurs qui augmentent le nombre :

Tera : 1 T = 10¹² ; Giga : 1 G = 10⁹ ; Mega : 1 M = 10⁶ ; kilo : 1 k = 10³ ;

les multiplicateurs qui diminuent le nombre :

milli : 1 m = 10^-3 ; micro : 1 µ = 10^-6 ; nano : 1 n = 10^-9

Les multiplicateurs moins courants :

hecto : 1 h=100; déca : 1da = 10 ; déci : 1 d = 10^-1 ; centi : 1 c = 10^-2

conversion directe très simple, par l'exemple

on veut convertir 3 mètres en millimètres

on commence par réécrire une fois l'unité sans s'occuper du nombre :

1 m = 1000 mm

on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité:

3 m = 3 × 1 m = 3 × ( 1000mm ) = ( 3 × 1000 ) mm = 3000 mm

on commence par réécrire une fois l'unité sans s'occuper du nombre

on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité

conversion directe simple, par l'exemple

La distance entre deux atomes de fer α est 0,287 nm; convertir en mètres :

on commence par réécrire une fois l'unité sans s'occuper du nombre :

1 nm = 10^-9 m

on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité:

0,287 nm = 0,287 × 1 nm = 0,287 × ( 10^-9 m ) = ( 0,287 × 10^-9 )m

on commence par réécrire une fois l'unité sans s'occuper du nombre

on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité

conversion directe composée, par l'exemple

La vitesse de la lumière dans le vide est c = 3 × 10⁸m/s. On veut la calculer en km/h

réécrire une fois chaque unité équivalente sans s'occuper du nombre :

1 m = 10^-3 × ( 1 km )

1 s = ( 1 / 60 ) × ( 1 min ) et 1 min = ( 1 / 60 ) × ( 1 h )

donc 1 s = ( 1 / 60 ) × ( 1 min ) = ( 1 / 60 ) × ( (1 / 60 ) × (1 h) )

= (( 1 / 60 ) × ( 1 / 60 )) × (1 h) = ( 1/3600 ) × (1 h)

1 s = ( 1/3600 ) × (1 h)

( on aurait pu aussi écrire 1h = 3600s donc 1s = 1/3600 x 1h )

on écrit ensuite l'unité composée à convertir en transformant chaque unité et en associant les nombres:

1 m/s = ( 1 m ) / ( 1 s ) = ( 10^-3 × (1 km) ) / ( 1/3600 × (1 h) )

= ( 10^-3 ) / ( 1/3600 ) × ( ( 1 km ) / (1 h) )

= ( 10^-3 ) × ( 3600 ) × ( 1 km/h )

= ( 10^-3 × 3600 ) × ( 1 km/h )

= 3,6 × ( 1 km/h ) = 3,6 km/h

1 m/s = 3,6 km/h

on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité:

c = 3 × 10⁸m/s = ( 3 × 10⁸) × ( 1 m/s )

c = ( 3 × 10⁸) × ( 3,6 km/h )

c = ( 3 × 10⁸ × 3,6 ) × ( 1 km/h )

c = ( 10,8 × 10⁸) × ( 1 km/h )

c = 10,8 × 10⁸km/h = 1,08 × 10⁹km/h ( 1,08 milliard de km/h)

réécrire une fois chaque unité équivalente sans s'occuper du nombre

on écrit ensuite l'unité composée à convertir en transformant chaque unité et en associant les nombres

on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité

Les tableaux de conversion classiques

les unités simples

dam

µm

les unités composées

km²

m²

dm²

cm²

mm²

µm²

km³

m³

dm³

cm³

mm³

µm³

équivalence des unités, équations aux dimensions , analyse dimensionnelle

L'analyse dimensionnelle repose sur le fait que ne peuvent être comparées que des grandeurs ayant la même dimension

Les deux côtés d'un signe égal dans une formule physique ont la même unité.
On remplace chaque variable par son unité ( équivalence des unités ) ou par une variable entre crochets (équations aux dimensions ) et on cherche l'unité ou le crochet correspondant aux variables non connues.

exemple 1 : $ i=\frac{dq}{dt} $ i est en Ampères, q en Coulomb et t en s. Donc $ 1\ A =1\ C.s^{-1}$ $

exemple 2 : $ E=\frac{1}{2} m v^2$ $ E est en Joules, m en kg et v en $ m.s^{-1} $. Donc $ 1\ J =\ 1\ kg.m^{2}.s^{-2}$ $ (remarque : le $ \frac{1}{2} $ n'a pas d'unité, on n'en tient pas compte.

exemple 3 : Le principe fondamental de la dynamique est $ \vec{f} = m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} $.
L'équation aux dimensions est : $ [F]= [M][L][T]^{-2} $. donc l'unité SI de la force est le $ kg\;m\;s^{-2} $. (couramment appelée Newton).

exemple 4 : on cherche une relation entre une énergie et une masse volumique, un temps, une distance : $ E = f(\rho,r, t) $
on cherche $ (a,b,c)\in \mathbb{R}^3 $ tels que $ E =\rho ^a r^b t^c $ avec $ [E] = ML^{2}T^{-2} $ , $ [\rho]=ML^{-3} $ ,$ [r]=L $ et $ [t]=T $
$ E =\rho ^a r^b t^c \Rightarrow [E] =[\rho]^a \times [r]^b \times [t]^c \Leftrightarrow M^{1}L^{2}T^{-2}= M^{a}L^{-3a+b}T^{c} \Leftrightarrow (a,b,c)=(1,5,-2) \Rightarrow E =\rho r^5 t^{-2} $

non-équivalence des unités

Parfois, pour simplifier l'écriture, on choisit comme unités les constantes des équations de la nature ( $ G$ (constante de la gravitation ),$\hbar$ ( constante de Planck ) , $c$ ( vitesse de la lumière ) $. Concrètement, on pose $ G=\hbar=c=1 $.

$ r=\frac{GM}{c^2} $ s'écrit alors $ r=M$ $ ( une longueur est égale à une masse ).

différentes unités

grandeur physique	unités de mesure	unités de mesure alternatives
MATHS
longueur	$ m $	pouces, années-lumières,yards
surface	$ m^{2} $	hectare
volume	$ m^{3} $	litre
angle	radian rad	degré
angle solide	stéradian sr	degré
PHYSIQUE
temps	seconde s	heure,minutes
masse	kilogramme kg	pound
énergie	Joule J	calorie,kWh
puissance	Watt W	chevaux vapeurs
vitesse	$ m.s^{-1} $	$ km.h^{-1} $
vitesse angulaire	$ rad.s^{-1} $	$ deg.s^{-1} $
température	Kelvin K	Celsius, Fahrenheit
ELECTRICITE
intensité	Ampères A
tension	Volts V
champs magnétiques	Tesla T	Gauss
capacité	Farad F
charge	Coulomb C
Résistance	Ohms $ \Omega $
Inductance	Henry H
CHIMIE
quantité de matière	moles mol
volume	Litres L
concentration	$ mol.L^{-1} $
vitesse de réaction	$ mol.L^{-1}.s^{-1} $
ONDES
fréquences	Hertz Hz
longueurs d'onde	mètre m
SON
	décibel dB
LUMIERE
flux lumineux	Lumen lm
intensité lumineuse	Candela Cd
éclairement lumineux	Lux

transformée de fourier discrète

bruno — 2015-08-16T23:02:43Z

N points forment une fonction f ( f(0) , f(1)...f(N-1) ). On suppose que la fonction est périodique ( on rajoute une infinité de blocs identiques de N points à gauche et à droite).
Alors cette fonction est égale à N sommes de fonctions sinusoïdales An

Analyse d'un son

fichier wav :

import wave
f=wave.open(_NomFich,'r')
_params=f.getparams() # ((1, 2, 44100, 18, 'NONE', 'not compressed'))
N=_params[3]
s=f.readframes(N) #16b : 2 char/donnee
fe = _params[2]*1.0

on crée alors

tt = np.arange(0.0,0.0+N, dtype=np.float64)/fe
X=[S16b2Valeur([ord(s[i]),ord(s[i+1])]) for i in range(0,2*N,2)]
_valeurs=numpy.array(list(X), dtype=np.float64)
fourier = fftpack.fft(sinux)/np.size(_valeurs)
resultat=np.fft.fftshift(fourier)+0j _coefficients=[[(0.0+i-N/2)*fe/N,resultat[i]] for i in range(len(resultat)) ] # [ [fq1,c1] , [fq2,c2] ... ]

La fonction intiale est alors égale à$\sum_{n=0}^{N-1} c_n e^{j 2 \pi t fq_1}$

programmes debian de math

bruno — 2015-07-24T05:27:47Z

mathématiques

Géogebra pour les maths
géogebra est utilisée au lycée et permet des exports en tex.

La calculatrice graphique pour la Géométrie, l'Algèbre, le Calcul Différentiel, les Statistiques et la 3D. Pratique pour les tracés géométriques.

https://wiki.geogebra.org

scilab : utilisé en ECS
apt-get install scilab

mimetex - Convertisseur d'expressions mathématiques LaTeX en images GIF lissées
mimetex -d "\frac{a}{b}+5^{8+\alpha}" -o -s 5 -e a.gif

axiom - système généraliste d'algèbre : programme principal et modules
cantor - interface for mathematical applications
- fonctionne avec python , octave ...
education-mathematics - Debian Edu mathematical applications
junior-math - Debian Jr. educational math
libreoffice-dmaths - Formula editor improvements for LibreOffice
epix - Create mathematically accurate line figures, plots and movies
- ligne de commande ??
euler - interactive mathematical programming environment
mathomatic - portable Computer Algebra System (CAS)
mathomatic-primes - prime number tools for mathomatic
mathpiper - Java Computer Algebra System
r-mathlib - GNU R standalone mathematics library
science-mathematics - Paquets Debian pour les Sciences Mathématiques
octave - GNU Octave language for numerical computations
geophar - Couteau suisse pour l'enseignant de mathématiques : voir page dédiée geophar
jsmath - équations TeX dans des documents HTML
kmplot - traceur de fonctions mathématiques pour KDE
qhull-bin - Calcul d'enveloppes convexes et d'autres objets mathématiques
science-mathematics - Paquets Debian pour les Sciences Mathématiques
zegrapher - tracé de courbes planes pour des fonctions et des suites mathématiques

ARCHIVES :

mathwar - Jeu de cartes conçus pour apprendre les mathématiques élémentaires
python-linop - Linear mathematical operators in Python (Python 2)
python-linop-doc - Linear mathematical operators in Python (documentation)
python3-linop - Linear mathematical operators in Python (Python 3)
w3-dtd-mathml - Mathematical Markup Language V2.0 DTD
zimpl - langage de modélisation mathématiques pour les problèmes d'optimisation

geomview

Utilisés dans l'éducation nationale ou proposés par

apt-get install algobox geogebra scratch

Algobox pour l'algorithmique : crée des fichiers .alg

On peut tester l'algorithme

scratch pour la programmation : très sympa.

xcas en ligne :
programmation, tableur, grapheur,suites, éditeur ( copier/coller des autres fonctionnalités )

jeux de math

divers

gmult : jeu devinette de multiplication

brochures de l'APMEP

http://lea-linux.org/documentations...

admesh outil pour calculer des maillages solides : stl 2 stl : rien de concluant

grace : XY graphing and plotting tool #xmgrace

a voir

cimg-dev : bibliothèque C de calcul sur les images intéressant, pas essayé

cadabra field-theory motivated computer algebra system : pas essayé

cantor : cantor - interface pour applications mathématiques
pas essayé

euler : euler - environnement de programmation mathématique interactive
pas essayé

logiciels_pour_le_lycee

variables aléatoires

bruno — 2014-12-04T03:09:43Z

variables aléatoires

définitions

On nomme Variable Aléatoire sur $ \Omega $ toute application de $ \Omega $ dans $ \mathbb{R} $

$ VA (\Omega ) : \Omega \longrightarrow\mathbb{R} $

La loi de probabilité (ldp) d'une variable aléatoire $ X $ est l'application $ f_{X} $ de $ X(\Omega ) $ dans $ \mathbb{R} $ associant à tout x de $ X(\Omega ) $ le nombre $ f_X(x)=P(X=x) $

$ \begin{array}{lrccl} ldp : & f_X : &X(\Omega ) &\mapsto &\mathbb{R} \\ & & x &\longrightarrow &P(X=x) \end{array} $

La fonction de répartition de $ X $ est l'application $ F_X $ de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{R} $ associant à tout x le nombre $ F_X(x)=P(X\leq x) $

$ \begin{array}{lrccl} fdr : & F_X : &\mathbb{R} &\longrightarrow&\mathbb{R} \\ & & x &\mapsto &P(X\leq x) \end{array} $

lois de probabilité discrète

Loi de Poisson : loi qui décrit le comportement du nombre d'évènements se produisant dans un laps de temps fixé, si ces évènements se produisent avec une fréquence moyenne connue et indépendamment du temps écoulé depuis l'évènement précédent.

Loi uniforme : équiprobabilité de chaque valeur.

Loi de bernouilli : $ P(X=1)=p ; P(X=0)=1-p $.
Une épreuve de bernouilli est une expérience aléatoire qui a deux issues possibles, gagné ( resp. perdu ), $ G $ ou {1} (resp $ P $ ou {0}), $ G=\bar{P} $. Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p, la probabilité de « gagné » est $ p(G)=p $.

Loi de bernouilli : l'univers $ \Omega $ contient un nombre fini d'objets. L'univers contient N $ (=card(\Omega)) $ objets séparés en deux groupes G et P : $ \Omega = G + P $. La probabilité de gagner est $ p(G)=\frac{card(G)}{card(\Omega)} $

Loi binomiale : répéter n fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p

Loi binomiale : piocher n fois dans un groupe contenant une proportion p d'objets gagnés. Donc avec remise.

Loi hypergéométrique : On tire simultanément n boules dans une urne contenant pA boules gagnantes et qA boules perdantes (avec q = 1 - p, soit un nombre total de boules valant pA + qA = A). On compte alors le nombre de boules gagnantes extraites et on appelle X la variable aléatoire donnant ce nombre.

Loi géométrique : le temps d'attente de la première réussite $ E=\{000000001\} ; p(n)=(1-p)^{n-1} * p $
Tous les couples ont des enfants jusqu'à obtenir un garcon

lois de probabilité continue

Loi uniforme : tous les intervalles de même longueur inclus dans le support de la loi ont la même probabilité.

Loi exponentielle : la probabilité que le phénomène dure au moins s + t heures sachant qu'il a déjà duré t heures sera la même que la probabilité de durer s heures à partir de sa mise en fonction initiale. $ \bigvee(s,t)\in\mathbb{R}^{+2} , P(X \gt s+t \mid X\gt t ) = P( X \gt s ) $

Loi normale : loi de Gauss

$ \begin{array}{llcll} \\ \\ loi\ de\ poisson & & P_{\lambda\gt 0}(X = k )=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} & E(X) = \lambda & V(X)=\lambda\\ loi\ uniforme & U([a;b[) & \frac{1}{b-a} sur [a;b] & E(X) = \frac{a+b}{2} & V(X)=\frac{(b-a)^2}{12}\\ loi\ exponentielle & \epsilon (\lambda) & \lambda e^{-\lambda t} ; t \geq 0 & E(X)=\frac{1}{\lambda} & V(X)=\frac{1}{\lambda^2}\\ loi\ normale & N(m,\sigma) & \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} & & \\ loi\ de\ bernouilli & & p ; 1-p ; 0 & E=p & V=pq \\ loi\ binomiale & & C^n_k p^k (1-p)^{n-k} & E=np & V=npq\\ loi\ hypergéométrique & & p(k) = \frac{{pA \choose k}{qA \choose {n-k}}}{{A \choose n}} & E=np & V=npq\frac{A-n}{A-1} \end{array} $

calculs de E et V

Loi binomiale

Soit $ f_{n \in \mathbb{N}} : \mathbb{R}\times\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $, $ (a,b) \longrightarrow (a+b)^n $

$ E=\sum_{k=0}^{k=n} k C^n_k p^k (1-p)^{n-k} $ On reconnaît $ p \partial_p p^k $

$ \begin{array}{ll} \frac{\partial}{\partial p} f_n(p,b) = \frac{\partial}{\partial p} (p+b)^n = \frac{\partial}{\partial p} \sum_{k=0}^{k=n} C^n_k p^k b^{n-k} \\ \Rightarrow n(p+b)^{n-1} = \sum_{k=1}^{k=n} C^n_k k p^{k-1} b^{n-k} \\ \Rightarrow \frac{\partial f_n}{\partial p} (p,1-p) = n \times 1= \frac{E}{p}\\ d'ou\ E = n \times p \end{array} $

$ V=\sum_{k=0}^{k=n} (k-\bar{k})^2 C^n_k p^k (1-p)^{n-k} = \bar{(k^2)}-(\bar{k})^2 $ On reconnaît $ p \partial_p k p^k $ : $ k^2 p^k \approx \partial_{p^2}(p^k) $

$ \begin{array}{ll} \frac{\partial^2}{\partial p^2} f_n(p,b) = \frac{\partial}{\partial p} ( n(p+b)^{n-1} ) = \frac{1}{p} \frac{\partial}{\partial p} \sum_{k=1}^{k=n} C^n_k k p^k b^{n-k} - \frac{1}{p^2} \sum_{k=1}^{k=n} C^n_k k p^k b^{n-k}\\ \Rightarrow n(n-1)(p+b)^{n-2} = \frac{1}{p^2} \sum_{k=1}^{k=n} C^n_k k^2 p^k b^{n-k} - \frac{1}{p^2} \sum_{k=1}^{k=n} C^n_k k p^k b^{n-k}\\ \Rightarrow \frac{\partial^2 f_n}{\partial p^2} (p,1-p) = n(n-1) = \frac{1}{p^2} \bar{(k^2)} - \frac{1}{p^2} E \\ \Rightarrow V = ( p^2 n(n-1) + np ) - (np)^2 = np - n p^2 = np(1-p) \end{array} $

Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson

$ C^n_k p^k (1-p)^{n-k} = \frac{\Pi_{i=0}^{i=k-1} n(1-\frac{i}{n}) }{k!} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{(np)^k}{k!} (1-p)^{n-k} \Pi_{i=0}^{i=k-1} (1-\frac{i}{n}) $

$ = \frac{\lambda^k}{k!} (1-\frac{\lambda}{n})^n (1-\frac{\lambda}{n})^{-k} \Pi_{i=0}^{i=k-1} (1-\frac{i}{n}) $

$ \Delta = \frac{\mid (1-\frac{\lambda}{n})^n - e^{-\lambda}\mid }{e^{-\lambda}} $ pour :
$ \begin{array}{lll} & \Delta \le 1\% & \Delta \le 10\% \\ \lambda =0.1 & n \ge 1 & n \ge 1 \\ \lambda =0.5 & n\ge 13 & n\ge 2 \\ \lambda =1.0 & n\ge 51 & n\ge 6 \\ \lambda =3.0 & n\ge 450 & n\ge 45 \\ \lambda =10.0 & n\ge 4982 & n\ge 482 \end{array} $

$ \Delta = \frac{\mid (1-\frac{\lambda}{n})^n - e^{-\lambda}\mid }{e^{-\lambda}} $ pour :
$ \begin{array}{lll} & \Delta \le 1\% & \Delta \le 10\% \\ \lambda =0.1 & n \ge 1 ( p\le 0.1 )& n \ge 1 ( p\le 0.1 ) \\ \lambda =0.5 & n\ge 13 ( p\le 0.04 )& n\ge 2 ( p\le 0.25 ) \\ \lambda =1.0 & n\ge 51 ( p\le 0.02 )& n\ge 6 ( p\le 0.16 ) \\ \lambda =3.0 & n\ge 450 ( p\le 0.007 )& n\ge 45 ( p\le 0.07 )\\ \lambda =10.0 & n\ge 4982 ( p\le 0.002 )& n\ge 482 ( p\le 0.02 ) \end{array} $

$ \begin{array}{lllllll} & C^n_k p^k (1-p)^{n-k} & l^^k/k! e-l \\ \lambda=1.0;n=51.0;k=10.0 & \end{array} $

ca marche jusqu'à $ k^2 = n/2 $

$ \begin{array}{lllllll} & & (1-\frac{\lambda}{n})^{-k} & \Pi_{i=0}^{i=k-1} (1-\frac{i}{n}) & (1-\frac{\lambda}{n})^n & produit & e^{-\lambda}\\ \lambda =0.1;n = 10 & k=5 & 1.05&0.3&0.9&0.29&0.9\\ \lambda =0.5;n = 13 & k=5 & 1.22&0.41&0.6&0.3&0.6\\ \lambda =0.5;n = 13 & k=3 & 1.12& 0.78 &0.6&0.52&0.61\\ \lambda =1.0;n = 51 & k=10 & 1.22 & 0.39 & 0.36 & 0.17& 0.37\\ \lambda =20.0;n = 1000 & k=50 &2.75 & 0.29& 1.68e-09& 1.33e-09 & 2.06e-09\\ \lambda =2.0;n = 1000 & k=50 &1.11&0.29&0.14&0.043&0.14\\ \lambda=2.0; n=1000.0&k=7.0& 1.01& 0.98& 0.14& 0.13& 0.14\\ \lambda=1.0;n=51.0 & k=2.0& 1.04&0.98&0.36&0.37&0.37 \end{array} $