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UNITES
Publié le 9 septembre 2015, dernière mise-à-jour le 26 mai 2021, 0 visites, visites totales.
- unités
- Les changements d’unité
- équivalence des unités, équations aux dimensions
- non-équivalence des unités
- différentes unités
unités
Pour quantifier une grandeur physique, et les comparer,nous avons besoin d’unités. 7 suffisent. On utilisent souvent les7 suivantes :
| Grandeur de base | Symbole de la dimension |
|---|---|
| LONGUEUR | L |
| TEMPS | T |
| MASSE | M |
| INTENSITé électrique | I |
| témpérature thermodynamique | $ \Theta $ |
| quantité de matière | N |
| inténsité lumineuse | J |
Ainsi toute unité s’écrit avec ces 7 unités de la façon suivante : NouvelleUnité = $ L^{\alpha} M^{\beta} T^{\gamma} I^{\delta} \Theta^{\epsilon} N^{\zeta} J^{\eta} $. Les exposants sont des réels quelconques mais pratiquement toujours des entiers relatifs.
| Les changements d'unité | 1/2 |
Utilisation d'un tableau de conversion, par l'exemple
| On cherche à convertir 85,3 mm en mètres.
On construit le tableau avec les unités recherchées :
On place le nombre en mettant la virgule à droite de la colonne de l'unité :
On rajoute les zéros avant et après le nombre en ayant soin d'atteindre la nouvelle unité :
On place la nouvelle virgule et on garde seulement les zéros utiles :
On écrit le résultat :
85,3 mm = 0,0853 m | A retenir ................................. On construit le tableau avec les unités recherchées
On place le nombre en mettant la virgule à droite de la colonne de l'unité.
On rajoute les zéros avant et après le nombre en ayant soin d'atteindre la nouvelle unité
On place la nouvelle virgule et on garde seulement les zéros utiles
On écrit le résultat
|
conversions directes, par l'exemple
Les multiplicateurs courants
-
les multiplicateurs qui augmentent le nombre :
Tera : 1 T = 1012 ; Giga : 1 G = 109 ; Mega : 1 M = 106 ; kilo : 1 k = 103 ;
les multiplicateurs qui diminuent le nombre :
milli : 1 m = 10-3 ; micro : 1 µ = 10-6 ; nano : 1 n = 10-9
Les multiplicateurs moins courants :
hecto : 1 h=100; déca : 1da = 10 ; déci : 1 d = 10-1 ; centi : 1 c = 10-2
conversion directe très simple, par l'exemple
| on veut convertir 3 mètres en millimètres
on commence par réécrire une fois l'unité sans s'occuper du nombre : 1 m = 1000 mm
on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité: 3 m = 3 × 1 m = 3 × ( 1000mm ) = ( 3 × 1000 ) mm = 3000 mm |
on commence par réécrire une fois l'unité sans s'occuper du nombre
on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité
|
conversion directe simple, par l'exemple
| La distance entre deux atomes de fer α est 0,287 nm; convertir en mètres :
on commence par réécrire une fois l'unité sans s'occuper du nombre : 1 nm = 10-9 m
on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité: 0,287 nm = 0,287 × 1 nm = 0,287 × ( 10-9 m ) = ( 0,287 × 10-9 )m = |
on commence par réécrire une fois l'unité sans s'occuper du nombre
on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité
|
conversion directe composée, par l'exemple
| La vitesse de la lumière dans le vide est c = 3 × 108 m/s. On veut la calculer en km/h
réécrire une fois chaque unité équivalente sans s'occuper du nombre : 1 m = 10-3 × ( 1 km )
1 s = ( 1 / 60 ) × ( 1 min ) et 1 min = ( 1 / 60 ) × ( 1 h ) donc 1 s = ( 1 / 60 ) × ( 1 min ) = ( 1 / 60 ) × ( (1 / 60 ) × (1 h) ) = (( 1 / 60 ) × ( 1 / 60 )) × (1 h) = ( 1/3600 ) × (1 h) 1 s = ( 1/3600 ) × (1 h) ( on aurait pu aussi écrire 1h = 3600s donc 1s = 1/3600 x 1h ) on écrit ensuite l'unité composée à convertir en transformant chaque unité et en associant les nombres: 1 m/s = ( 1 m ) / ( 1 s ) = ( 10-3 × (1 km) ) / ( 1/3600 × (1 h) ) = ( 10-3 ) / ( 1/3600 ) × ( ( 1 km ) / (1 h) ) = ( 10-3 ) × ( 3600 ) × ( 1 km/h ) = ( 10-3 × 3600 ) × ( 1 km/h ) = 3,6 × ( 1 km/h ) = 3,6 km/h 1 m/s = 3,6 km/h
on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité: c = 3 × 108 m/s = ( 3 × 108 ) × ( 1 m/s ) c = ( 3 × 108 ) × ( 3,6 km/h ) c = ( 3 × 108 × 3,6 ) × ( 1 km/h ) c = ( 10,8 × 108 ) × ( 1 km/h ) c = 10,8 × 108 km/h = 1,08 × 109 km/h ( 1,08 milliard de km/h) |
réécrire une fois chaque unité équivalente sans s'occuper du nombre
on écrit ensuite l'unité composée à convertir en transformant chaque unité et en associant les nombres
on écrit ensuite le nombre à convertir en transformant seulement l'unité
|
Les tableaux de conversion classiques
| les unités simples
les unités composées
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équivalence des unités, équations aux dimensions , analyse dimensionnelle
L’analyse dimensionnelle repose sur le fait que ne peuvent être comparées que des grandeurs ayant la même dimension
Les deux côtés d’un signe égal dans une formule physique ont la même unité.
On remplace chaque variable par son unité ( équivalence des unités ) ou par une variable entre crochets (équations aux dimensions ) et on cherche l’unité ou le crochet correspondant aux variables non connues.
exemple 1 : $ i=\frac{dq}{dt} $ i est en Ampères, q en Coulomb et t en s. Donc $ 1\ A =1\ C.s^{-1}$ $
exemple 2 : $ E=\frac{1}{2} m v^2$ $ E est en Joules, m en kg et v en $ m.s^{-1} $. Donc $ 1\ J =\ 1\ kg.m^{2}.s^{-2}$ $ (remarque : le $ \frac{1}{2} $ n’a pas d’unité, on n’en tient pas compte.
exemple 3 : Le principe fondamental de la dynamique est $ \vec{f} = m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} $.
L’équation aux dimensions est : $ [F]= [M][L][T]^{-2} $. donc l’unité SI de la force est le $ kg\;m\;s^{-2} $. (couramment appelée Newton).
exemple 4 : on cherche une relation entre une énergie et une masse volumique, un temps, une distance : $ E = f(\rho,r, t) $
on cherche $ (a,b,c)\in \mathbb{R}^3 $ tels que $ E =\rho ^a r^b t^c $ avec $ [E] = ML^{2}T^{-2} $ , $ [\rho]=ML^{-3} $ ,$ [r]=L $ et $ [t]=T $
$ E =\rho ^a r^b t^c \Rightarrow [E] =[\rho]^a \times [r]^b \times [t]^c \Leftrightarrow M^{1}L^{2}T^{-2}= M^{a}L^{-3a+b}T^{c} \Leftrightarrow (a,b,c)=(1,5,-2) \Rightarrow E =\rho r^5 t^{-2} $
non-équivalence des unités
Parfois, pour simplifier l’écriture, on choisit comme unités les constantes des équations de la nature ( $ G$ (constante de la gravitation ),$\hbar$ ( constante de Planck ) , $c$ ( vitesse de la lumière ) $. Concrètement, on pose $ G=\hbar=c=1 $.
$ r=\frac{GM}{c^2} $ s’écrit alors $ r=M$ $ ( une longueur est égale à une masse ).
différentes unités
| grandeur physique | unités de mesure | unités de mesure alternatives |
|---|---|---|
| MATHS | ||
| longueur | $ m $ | pouces, années-lumières,yards |
| surface | $ m^{2} $ | hectare |
| volume | $ m^{3} $ | litre |
| angle | radian rad | degré |
| angle solide | stéradian sr | degré |
| PHYSIQUE | ||
| temps | seconde s | heure,minutes |
| masse | kilogramme kg | pound |
| énergie | Joule J | calorie,kWh |
| puissance | Watt W | chevaux vapeurs |
| vitesse | $ m.s^{-1} $ | $ km.h^{-1} $ |
| vitesse angulaire | $ rad.s^{-1} $ | $ deg.s^{-1} $ |
| température | Kelvin K | Celsius, Fahrenheit |
| ELECTRICITE | ||
| intensité | Ampères A | |
| tension | Volts V | |
| champs magnétiques | Tesla T | Gauss |
| capacité | Farad F | |
| charge | Coulomb C | |
| Résistance | Ohms $ \Omega $ | |
| Inductance | Henry H | |
| CHIMIE | ||
| quantité de matière | moles mol | |
| volume | Litres L | |
| concentration | $ mol.L^{-1} $ | |
| vitesse de réaction | $ mol.L^{-1}.s^{-1} $ | |
| ONDES | ||
| fréquences | Hertz Hz | |
| longueurs d’onde | mètre m | |
| SON | ||
| décibel dB | ||
| LUMIERE | ||
| flux lumineux | Lumen lm | |
| intensité lumineuse | Candela Cd | |
| éclairement lumineux | Lux |
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